大学一年生ですが数学の各種定義を1度確認したい

1 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:52:51.627 ID:NyoIPGxi0
色々出てきて混乱するから
2 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:52:58.175 ID:BbPCW/zvH
たかかかさ
3 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:53:07.067 ID:BbPCW/zvH
なかやなな
4 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:53:25.890 ID:soocBBtH0
写像…?
8 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:55:15.814 ID:NyoIPGxi0
>>4
ダメだこりゃ…
5 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:53:51.212 ID:SxmR7csBp
1+1=2
これって定義だよな
7 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:54:54.532 ID:NyoIPGxi0
>>5
うーん…
2は「1の後者(suc(1))」と定義されるから1+1=2は定義ではなさそう
9 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:55:42.432 ID:soocBBtH0
>>5
違うよ
加法という二項演算の定義によって計算された結果
6 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:53:57.562 ID:NyoIPGxi0
微分積分を特にしっかりやりたい
線形代数は分かるけどあまり興味ない
10 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:56:19.166 ID:YWQYLmlyd
ε-δ論法はやめてくれ…
12 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:57:34.840 ID:NyoIPGxi0
>>10
まぁ慣れの問題だきっと
11 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:56:21.629 ID:NyoIPGxi0
まず自然数の定義はペアノの公理でいいと思う
じゃあ整数はどうやって定義するんだろ
14 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:00:35.506 ID:J2Vh/zS20
>>11
0を基準として1ずつ足していったものが自然数
0を基準として1ずつ足していったものと1ずつ引いていったものと0が整数
15 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:04:32.926 ID:NyoIPGxi0
>>14
うむ…でもそれだと足し算と掛け算が定義されてない気がしてね
22 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:10:50.321 ID:J2Vh/zS20
>>15
数学的帰納法を使えばペアノの公理だけで整数全体を定義できるはずだ
25 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:14:02.507 ID:NyoIPGxi0
>>22
そうかも
でも群環体の定義を考えてたらペアノの公理って必要ない気がしてきた
13 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 13:59:49.086 ID:NyoIPGxi0
2つ組(G,+)が群であることの定義は
結合法則(x+y)+z=x+(y+z)(∀xyz)
零元x+0=0+x=x(∃0)
逆元x+(-x)=(-x)+x=0(∃(-x))
だったと思うけどこれあってるかな
16 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:06:24.813 ID:Bd3tx+iH0
びぶんってなに!
18 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:07:36.310 ID:NyoIPGxi0
>>16
高校数学ではlim(f(x+h)-f(x))/hのことを指してた
だけどこれを「微分」と呼ぶのは正確でないかも
19 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:08:51.770 ID:Bd3tx+iH0
>>18
びぶんはなにしてるの?
数字遊び?
21 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:10:24.265 ID:NyoIPGxi0
>>19
ただの計算といえばまぁそうだと思う
図形的には、曲線を直線で近似してるイメージかな?
23 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:11:23.372 ID:Bd3tx+iH0
>>21
なるほどね!
そんなものが世の中に莫大な進歩を生み出すとかマジすげぇ!
いみわかんねぇな!
17 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:06:36.987 ID:NyoIPGxi0
環の定義は3つ組(G,+,-)が

(G,+)がアーベル群をなす
単位元1a=a1=a(∃1)
結合法則(ab)c=a(bc)
逆元aa^(-1)=a^(-1)a=1(∃a^(-1))
(a+b)c=ac+bc(分配則)

だったと思う
群論はちょっとかじったことがある程度なのでよく分からん

20 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:09:26.381 ID:NyoIPGxi0
>>17
これ訂正
3つ組(G,+,・)でした

3つ組(G,+,・)が体をなすことの定義は

これが可換環であること

だった気がします

24 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:12:57.908 ID:NyoIPGxi0
整数を定義してみる

整数ℤ︎は+と・について可換環であって、かつ順序集合

という感じだろうか…
深入りしすぎてもう無理

26 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:14:44.888 ID:xVzrL2DW0
どうでもいいけど普通ただの群の演算は+では書かない
30 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:19:44.977 ID:NyoIPGxi0
>>26-28
なるほど…ためになるわ
やりたいのは微積だったのに深入りしてしまった
34 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:23:05.583 ID:xVzrL2DW0
>>30
深入りもしてねえよ
あと自然数の構成なんてどうでもいいこと気にしなくていいぞ
36 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:25:12.921 ID:NyoIPGxi0
>>34
どうでもいいことが気になってな
27 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:16:38.895 ID:xVzrL2DW0
環は乗法では逆元とれないぞ
28 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:17:32.599 ID:xVzrL2DW0
0以外が逆元をもつのが体
適当に想像するんじゃなくてちゃんと本読め
29 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:18:45.018 ID:NyoIPGxi0
ああ違うかも……
流れとしては
①ペアノの公理により自然数を定義する
②自然数上で和を定義する
②和に関する逆元を付け加えて整数を定義する
③整数上で和がwell-definedである事を示す
④整数上で積を定義する
⑤積に関する逆元を付け加えて有理数を定義する
⑥有理数上で和と積がwell-definedである事を示す
⑦完備化して実数を定義する

こういうイメージかもしれない

31 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:20:29.029 ID:NyoIPGxi0
でもℝ︎の元の順序はどう決めるんだろう?
32 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:20:57.118 ID:J2Vh/zS20
なんで微積やりたいのに整数の定義してるの?
33 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:22:07.779 ID:NyoIPGxi0
>>32
極限の話をしたいのに実数ってなんだっけと思って簡単に定義しようとしたらハマった
35 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:24:48.495 ID:NyoIPGxi0
自然数上でも積が定義できて、その逆元を自然数に付け加えたものをℚ︎≧0とする
これの完備化をℝ︎≧0として、ℝ︎上の元a,bに対してa-b∈ℝ︎≧0かつa≠bが成り立つときa>bとすれば
順序が定義できるのかもしれない
37 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:25:38.041 ID:NyoIPGxi0
とりあえず実数の話終わり
38 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:27:24.424 ID:NyoIPGxi0
極限の話をする
lim[x→a]f(x)=αであるとは
∀ε>0,∃δ>0,0<|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε
であること
39 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:29:47.263 ID:NyoIPGxi0
区間I上の関数f(x)について、
g(a)=lim(f(x)-f(a))/(x-a)が各点aについて存在するとき
関数gをfの導関数f'とする
40 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:30:06.275 ID:uIUmio2V0
位相空間論は?
43 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:31:52.835 ID:NyoIPGxi0
>>40
知りませぬ
41 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:31:45.512 ID:NyoIPGxi0
連続の定義も書かないとダメか

関数fが連続とはlim(f(x)-f(a))=0が各点aで成り立つこと

42 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:31:47.136 ID:6IGjT4J90
まあ公理は満たすべき条件を書いただけで自然数の存在性については何も言わないけどな
44 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:32:08.487 ID:NyoIPGxi0
>>42
よく分からん…
45 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:32:46.230 ID:NyoIPGxi0
まずは大雑把に初等関数を定義して見よう
46 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:35:07.568 ID:NyoIPGxi0
その前に上限、下限も考えねば…

αがf(x)の上界であるとは
∀x,f(x)≦αとなること

上限とは上界集合の最小値のこと

ほかも同じ

47 名前:匿名のゴリラ 投稿日時:2020/11/01(日) 14:36:18.301 ID:NyoIPGxi0
実数においては上界があれば上限は必ず存在する

みたいな定理があった気がする

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