- 色々出てきて混乱するから
- たかかかさ
- なかやなな
- 写像…？
- >>4
ダメだこりゃ… - 1+1=2
これって定義だよな - >>5
うーん…
2は「1の後者(suc(1))」と定義されるから1+1=2は定義ではなさそう - >>5
違うよ
加法という二項演算の定義によって計算された結果 - 微分積分を特にしっかりやりたい
線形代数は分かるけどあまり興味ない - ε-δ論法はやめてくれ…
- >>10
まぁ慣れの問題だきっと - まず自然数の定義はペアノの公理でいいと思う
じゃあ整数はどうやって定義するんだろ - >>11
0を基準として1ずつ足していったものが自然数
0を基準として1ずつ足していったものと1ずつ引いていったものと0が整数 - >>14
うむ…でもそれだと足し算と掛け算が定義されてない気がしてね - >>15
数学的帰納法を使えばペアノの公理だけで整数全体を定義できるはずだ - >>22
そうかも
でも群環体の定義を考えてたらペアノの公理って必要ない気がしてきた - 2つ組(G,+)が群であることの定義は
結合法則(x+y)+z=x+(y+z)(∀xyz)
零元x+0=0+x=x(∃0)
逆元x+(-x)=(-x)+x=0(∃(-x))
だったと思うけどこれあってるかな - びぶんってなに！
- >>16
高校数学ではlim(f(x+h)-f(x))/hのことを指してた
だけどこれを「微分」と呼ぶのは正確でないかも - >>18
びぶんはなにしてるの？
数字遊び？ - >>19
ただの計算といえばまぁそうだと思う
図形的には、曲線を直線で近似してるイメージかな？ - >>21
なるほどね！
そんなものが世の中に莫大な進歩を生み出すとかマジすげぇ！
いみわかんねぇな！ - 環の定義は3つ組(G,+,-)が
(G,+)がアーベル群をなす
単位元1a=a1=a(∃1)
結合法則(ab)c=a(bc)
逆元aa^(-1)=a^(-1)a=1(∃a^(-1))
(a+b)c=ac+bc(分配則)だったと思う
群論はちょっとかじったことがある程度なのでよく分からん - >>17
これ訂正
3つ組(G,+,・)でした3つ組(G,+,・)が体をなすことの定義は
これが可換環であること
だった気がします
- 整数を定義してみる
整数ℤ︎は+と・について可換環であって、かつ順序集合
という感じだろうか…
深入りしすぎてもう無理 - どうでもいいけど普通ただの群の演算は+では書かない
- >>26-28
なるほど…ためになるわ
やりたいのは微積だったのに深入りしてしまった - >>30
深入りもしてねえよ
あと自然数の構成なんてどうでもいいこと気にしなくていいぞ - >>34
どうでもいいことが気になってな - 環は乗法では逆元とれないぞ
- 0以外が逆元をもつのが体
適当に想像するんじゃなくてちゃんと本読め - ああ違うかも……
流れとしては
①ペアノの公理により自然数を定義する
②自然数上で和を定義する
②和に関する逆元を付け加えて整数を定義する
③整数上で和がwell-definedである事を示す
④整数上で積を定義する
⑤積に関する逆元を付け加えて有理数を定義する
⑥有理数上で和と積がwell-definedである事を示す
⑦完備化して実数を定義するこういうイメージかもしれない
- でもℝ︎の元の順序はどう決めるんだろう？
- なんで微積やりたいのに整数の定義してるの？
- >>32
極限の話をしたいのに実数ってなんだっけと思って簡単に定義しようとしたらハマった - 自然数上でも積が定義できて、その逆元を自然数に付け加えたものをℚ︎≧0とする
これの完備化をℝ︎≧0として、ℝ︎上の元a,bに対してa-b∈ℝ︎≧0かつa≠bが成り立つときa>bとすれば
順序が定義できるのかもしれない - とりあえず実数の話終わり
- 極限の話をする
lim[x→a]f(x)=αであるとは
∀ε>0,∃δ>0,0<|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε
であること - 区間I上の関数f(x)について、
g(a)=lim(f(x)-f(a))/(x-a)が各点aについて存在するとき
関数gをfの導関数f'とする - 位相空間論は？
- >>40
知りませぬ - 連続の定義も書かないとダメか
関数fが連続とはlim(f(x)-f(a))=0が各点aで成り立つこと
- まあ公理は満たすべき条件を書いただけで自然数の存在性については何も言わないけどな
- >>42
よく分からん… - まずは大雑把に初等関数を定義して見よう
- その前に上限、下限も考えねば…
αがf(x)の上界であるとは
∀x,f(x)≦αとなること上限とは上界集合の最小値のこと
ほかも同じ
- 実数においては上界があれば上限は必ず存在する
みたいな定理があった気がする
大学一年生ですが数学の各種定義を1度確認したい
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